Обмотка тора
Нарисуем квадрат. Размер его не имеет значения. но пусть для определённости это будет квадрат с центром в начале коодринат и с вершинами в точках
(3, 3), (3, -3), (-3, -3), (-3, 3). Сторона этого квадрата равна 6. Давайте на этом квадрате
станем рисовать линию согласно следующему алгорифму:
1. Начнём эту линию в начале коодринат (0, 0), хотя для существа дела это не имеет значения.
2. Пусть это будет прямая линия под некоторым углом α к горизонтальной оси x, и пусть 0 < α < π/2.
Угол α выбран таким, чтобы линия шла вправо и вверх (это называется "в первом квадранте"). Как только линия доходит до границы квадрата, мы перескакиваем на противоположную сторону и продолжаем вести линию уже от той точки. Более подробно: если линия дошла до границы квадрата в точке (3, y), то мы продолжаем вести линию под тем же углом уже от точки (-3, y), если же линия дошла до границы квадрата в точке (x, 3), то мы продолжаем её вести уже от точки (x, -3). Ту же самую мысль можно сформулировать иначе: точки (x, 3) и (x, -3) склеим между собой, квадрат при этом превратится в трубу. Точки (3, y) и (-3, y) тоже склеим между собой, тогда труба превратится в тор. Прямая линия при достижении границы квадрата теперь автоматически будет продолжаться с противоположной точки границы квадрата, которая на торе представляет собой на самом деле ту же точку.
Обмотка тора может быть всюду плотной, т.е. проходящей сколь угодно близко около каждой точки. Это происходит тогда и только тогда, когда тангенс угла α является иррациональным числом. Если же число α рационально, т.е. может быть представлено в виде отношения двух целых чисел, то обмотка через какое-то количество витков станет повторяться. Конечно мы не можем задать на компьютере иррациональное число, но мы можем представить число в виде длинной десятичной непериодической дроби, или в виде отношения двух очень больших целых чисел. Программу обмотки тора Вы можете загрузить из числа опубликованных проектов и поэкспериментировать с заданием тангенса, он у нас обозначен через alfa.
1. Начнём эту линию в начале коодринат (0, 0), хотя для существа дела это не имеет значения.
2. Пусть это будет прямая линия под некоторым углом α к горизонтальной оси x, и пусть 0 < α < π/2.
Угол α выбран таким, чтобы линия шла вправо и вверх (это называется "в первом квадранте"). Как только линия доходит до границы квадрата, мы перескакиваем на противоположную сторону и продолжаем вести линию уже от той точки. Более подробно: если линия дошла до границы квадрата в точке (3, y), то мы продолжаем вести линию под тем же углом уже от точки (-3, y), если же линия дошла до границы квадрата в точке (x, 3), то мы продолжаем её вести уже от точки (x, -3). Ту же самую мысль можно сформулировать иначе: точки (x, 3) и (x, -3) склеим между собой, квадрат при этом превратится в трубу. Точки (3, y) и (-3, y) тоже склеим между собой, тогда труба превратится в тор. Прямая линия при достижении границы квадрата теперь автоматически будет продолжаться с противоположной точки границы квадрата, которая на торе представляет собой на самом деле ту же точку.
Обмотка тора может быть всюду плотной, т.е. проходящей сколь угодно близко около каждой точки. Это происходит тогда и только тогда, когда тангенс угла α является иррациональным числом. Если же число α рационально, т.е. может быть представлено в виде отношения двух целых чисел, то обмотка через какое-то количество витков станет повторяться. Конечно мы не можем задать на компьютере иррациональное число, но мы можем представить число в виде длинной десятичной непериодической дроби, или в виде отношения двух очень больших целых чисел. Программу обмотки тора Вы можете загрузить из числа опубликованных проектов и поэкспериментировать с заданием тангенса, он у нас обозначен через alfa.